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今天我们要证明三角形重心的一个重要性质。对于三角形ABC及其重心G，以及平面内任意一点P，有一个美妙的等式：PA的平方加PB的平方加PC的平方，等于GA的平方加GB的平方加GC的平方，再加上3倍的PG的平方。这个性质揭示了重心在几何中的特殊地位。
为了证明这个性质，我们首先建立向量表示。选取平面内任意一点O作为原点，设点A、B、C、G、P的向量分别为a向量、b向量、c向量、g向量、p向量。根据重心的定义，重心G的向量表示为三个顶点向量的平均值，即g向量等于a向量加b向量加c向量的和除以3。
现在我们开始计算等式的左边。左边是PA的平方加PB的平方加PC的平方。用向量表示，这等于a向量减p向量的模长平方，加上b向量减p向量的模长平方，加上c向量减p向量的模长平方。展开每一项，我们得到各向量模长平方的和，减去2倍的各向量与p向量的点积，再加上3倍p向量模长的平方。利用重心向量公式，a向量加b向量加c向量等于3倍g向量，最终得到左边等于各向量模长平方的和减去6倍g向量与p向量的点积加上3倍p向量模长的平方。
接下来计算等式的右边。右边是GA的平方加GB的平方加GC的平方，再加上3倍PG的平方。首先计算前三项的和，展开后得到各向量模长平方的和减去2倍各向量与g向量的点积加上3倍g向量模长的平方。利用重心向量公式化简，得到各向量模长平方的和减去3倍g向量模长的平方。然后计算3倍PG的平方，展开得到3倍g向量模长的平方减去6倍g向量与p向量的点积加上3倍p向量模长的平方。将两部分相加，最终得到右边等于各向量模长平方的和减去6倍g向量与p向量的点积加上3倍p向量模长的平方。
现在我们比较左右两边的结果。左边等于各向量模长平方的和减去6倍g向量与p向量的点积加上3倍p向量模长的平方。右边经过计算也得到完全相同的表达式。因此左边等于右边，等式得到证明。这个美妙的性质表明，三角形的重心G是一个特殊的点，它使得从任意点P到三个顶点的距离平方和具有最小值的性质。证明完成！