已知抛物线 G: y = ax² - 6ax - a³ + 2a² + 1(a > 0) 过点 A(x₁, 2) 和点 B(x₂, 2), 直线 l: y = m²x + n 过点 C(3, 1), 交线段 AB 于点 D, 记 △CDA 的周长为 C₁, △CDB 的周长为 C₂, 且 C₁ = C₂ + 2. (1) 求抛物线 G 的对称轴; (2) 求 m 的值; (3) 直线 l' 绕点 C 以每秒 3°的速度顺时针旋转 t 秒后 (0 ≤ t < 45) 得到直线 l', 当 l' // AB 时, 直线 l' 交抛物线 G 于 E, F 两点. ① 求 t 的值; ② 设 △AEF 的面积为 S, 若对于任意的 a > 0, 均有 S ≥ k 成立, 求 k 的最大值及此时抛物线 G 的解析式.

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我们来求解抛物线G的对称轴。抛物线的一般形式为y等于ax平方加bx加c，其对称轴公式为x等于负b除以2a。在我们的抛物线中，a系数为a，b系数为负6a，因此对称轴为x等于负负6a除以2a，化简得x等于3。 接下来求解参数m的值。由于A、B两点关于对称轴x等于3对称，且纵坐标都为2，所以它们的横坐标之和为6。根据周长条件，可以确定点D的坐标为(4,2)。直线l过点C和D，通过代入坐标可得m的平方等于1，因此m等于正负1。 现在分析直线旋转问题。直线l'绕点C以每秒3度的速度顺时针旋转。初始直线l的斜率为1，倾斜角为45度。当l'与AB平行时，斜率为0，倾斜角为0度。由45度减去3t度等于0度，可得t等于15秒。 最后求解三角形面积的最值问题。当t等于15时，直线l'的方程为y等于1。它与抛物线的交点E、F构成三角形AEF。通过计算可得面积S等于根号下a平方减2a加9。这是关于a的二次函数，当a等于1时取得最小值2倍根号2，因此k的最大值为2倍根号2，此时抛物线方程为y等于x平方减6x加2。 让我们总结一下这道综合题的完整解答。第一问，抛物线G的对称轴为x等于3。第二问，参数m的值为正负1。第三问，t的值为15秒，k的最大值为2倍根号2，此时抛物线方程为y等于x平方减6x加2。这道题综合考查了抛物线性质、直线方程、几何变换和函数最值等多个知识点，体现了数学的综合应用能力。