根据题目生成视频---**Question Number:** 8 **Question Stem:** 已知圆 C₁: x² + y² - 2ax + a² - 1 = 0 (a > 0), 圆 C₂: x² + y² - 4y - 5 = 0, 若两圆相交, 则实数 a 的取值范围为_______. **Mathematical Equations:** Equation of Circle C₁: x² + y² - 2ax + a² - 1 = 0 Condition for C₁: a > 0 Equation of Circle C₂: x² + y² - 4y - 5 = 0 **Condition:** The two circles intersect (若两圆相交). **Question:** Find the range of the real number a (则实数 a 的取值范围为).

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我们来解决一个关于两圆相交的问题。已知两个圆的方程，需要求出使它们相交的参数a的取值范围。首先我们需要将圆的方程化为标准形式，确定圆心和半径。 现在我们将两个圆的方程化为标准形式。对于圆C₁，通过配方法得到圆心为(a,0)，半径为1。对于圆C₂，同样配方得到圆心为(0,2)，半径为3。这样我们就确定了两个圆的基本信息。 接下来计算两个圆心之间的距离。圆心O₁的坐标是(a,0)，圆心O₂的坐标是(0,2)。根据两点间距离公式，圆心距d等于根号下a²加4。这个距离是判断两圆位置关系的关键。 现在我们利用两圆相交的条件。两圆相交时，圆心距必须大于等于半径之差的绝对值，且小于等于半径之和。将r₁等于1，r₂等于3，d等于根号下a²加4代入不等式，得到2小于等于根号下a²加4小于等于4。 最后我们解这个不等式。对不等式两边平方得到0小于等于a²小于等于12，解得负2根号3小于等于a小于等于2根号3。结合题目条件a大于0，最终得到a的取值范围是0到2根号3的左开右闭区间。