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數學中的實數可以分為兩大類：有理數和無理數。有理數是可以表示為兩個整數之比的數，例如負二、負二分之一、零、一、二分之五等。無理數則是不能表示為兩個整數之比的數，例如根號二、圓周率等。在數軸上，有理數和無理數密密麻麻地分布著。
有理數的定義是可以表示為 p 除以 q 形式的數，其中 p 和 q 都是整數，且 q 不等於零。有理數包括所有整數，因為任何整數都可以寫成分數形式，比如負三等於負三分之一。有理數還包括有限小數，如零點五等於二分之一。最特別的是，所有無限循環小數也是有理數，比如零點三三三循環等於三分之一。我們可以通過代數方法將循環小數轉換為分數。
無理數是不能表示為兩個整數之比的數，其小數表示為無限不循環小數。最著名的無理數證明是根號二。我們用反證法：假設根號二等於最簡分數 p 除以 q，則 p 的平方等於 2 乘以 q 的平方，這意味著 p 是偶數。設 p 等於 2k，代入得 q 也必須是偶數，這與最簡分數的假設矛盾。因此根號二是無理數。其他常見無理數還有圓周率和自然對數底 e。
有理數和無理數的主要區別體現在三個方面。首先是表示形式：有理數可以表示為兩個整數的比值，而無理數不能。其次是小數特徵：有理數的小數表示要麼是有限小數，要麼是無限循環小數；無理數則是無限不循環小數。最後，雖然兩者在數軸上都稠密分布，但它們構成了實數的完整劃分。韋恩圖清楚地顯示了有理數是實數的一個子集，而無理數是實數中除有理數外的所有數。
總結一下，有理數是可以表示為兩個整數之比的數，包括所有整數、有限小數和無限循環小數。無理數則是不能表示為分數的數，其小數表示為無限不循環。實數由有理數和無理數組成，兩者在數軸上都稠密分布。這些概念在實際中有廣泛應用：根號二出現在幾何中，圓周率用於物理計算，自然對數底在金融複利中重要，而分數在日常比例計算中常見。理解有理數和無理數的區別，有助於我們更好地認識數的本質。