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分式裂项是数学中一种重要的技巧，它将复杂的分式分解成更简单的分式之差。比如，我们可以将 1 除以 n 乘以 n 加 1，分解为 1 除以 n 减去 1 除以 n 加 1。当我们对这样的分式求和时，中间项会相互抵消，这就是裂项相消法的核心思想。
基本形式的分式裂项适用于分母为两个线性因式乘积的情况。通用公式是：1除以A乘以B，等于1除以B减A，再乘以1除以A减去1除以B。例如，1除以n乘以n加1，差值是1，所以等于1除以n减去1除以n加1。对于更复杂的例子，比如1除以2n加1乘以2n加5，差值是4，所以结果要除以4。
当分母是多个连续整数的乘积时，我们可以递归地使用裂项公式。对于三项乘积，比如n乘以n加1乘以n加2，我们先将其裂成两个二项乘积的差，然后对每个二项乘积继续使用基本裂项公式。这样就能将复杂的分式完全分解。
除了基本形式，还有两种重要的裂项类型。第一种是平方差形式，比如n平方减a平方，我们先将其因式分解为n减a乘以n加a，然后使用基本裂项公式。第二种是根号裂项，通过分子分母同乘以分母的共轭表达式进行有理化，将根号的差转化为整数分母，从而实现裂项。
分式裂项是一种强大的数学技巧，其核心思想是构造可以相消的表达式。我们学习了四种主要技巧：基本形式的两因式乘积、多项乘积的递归裂项、平方差的因式分解，以及根号形式的有理化处理。这些技巧在无穷级数求和、数列求和、积分和极限计算中都有广泛应用。掌握这些方法，能够有效解决各种复杂的分式求和问题。