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韦达定理是代数学中的重要定理，它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。对于二次方程ax²+bx+c=0，如果设两个根为x₁和x₂，那么两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。
让我们通过一个具体例子来验证韦达定理。考虑方程x²-5x+6=0，我们可以因式分解为(x-2)(x-3)=0，得到两根x₁=2，x₂=3。验证韦达定理：两根之和2+3=5，等于负b除以a，即负(-5)除以1；两根之积2×3=6，等于c除以a，即6除以1。
韦达定理不仅适用于二次方程，也适用于高次方程。对于n次方程，所有根的和等于负aₙ₋₁除以aₙ，所有根的积等于负1的n次方乘以a₀除以aₙ。例如三次方程x³-6x²+11x-6=0，其根为1、2、3，验证：根的和1+2+3=6，根的积1×2×3=6。
韦达定理有广泛的应用。可以用于已知根求系数、已知系数求根的关系、构造方程和简化计算。例如，已知两根之和为7，两根之积为12，我们可以构造方程x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0，即x²-7x+12=0，因式分解得(x-3)(x-4)=0，所以两根为3和4。
韦达定理是代数学中的重要定理，它建立了多项式方程的根与系数之间的桥梁。对于二次方程，两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。对于一般的n次方程，所有根的和等于负aₙ₋₁除以aₙ，所有根的积等于负1的n次方乘以a₀除以aₙ。韦达定理不仅简化了代数运算，还在数学的各个领域都有广泛应用，是代数学中不可或缺的基础工具。