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实变函数，也称为实分析，是数学分析的一个重要分支。它主要研究定义在实数集及其子集上的函数的性质和行为。与初等微积分不同，实变函数更加注重严格的数学证明和抽象的理论框架，是现代数学分析的重要理论基础。
实数系的完备性是实变函数理论的基石。它保证了任何有界单调数列都有极限，任何有界集合都有上确界和下确界。这个性质确保了实分析中各种收敛性定理的成立，为后续的测度论和积分理论提供了坚实的基础。
勒贝格测度和积分是实变函数的核心内容。它克服了黎曼积分只能处理连续函数或有限个间断点函数的局限性，能够对更广泛的函数类进行积分。勒贝格积分不仅在数学分析中具有重要地位，更为现代概率论和测度论提供了坚实的理论基础。
收敛性理论是实变函数的重要组成部分。它研究函数序列的各种收敛方式，包括逐点收敛、一致收敛和几乎处处收敛。这些概念为分析函数序列的极限行为提供了严格的数学框架，在泛函分析和偏微分方程理论中有广泛应用。
实变函数作为现代数学分析的基础，在许多数学分支中都有重要应用。它为概率论提供了测度理论基础，为偏微分方程提供了函数空间理论，为泛函分析提供了收敛性框架。学习实变函数不仅能够掌握严格的数学分析方法，更能培养抽象思维和逻辑推理能力，是通向高等数学研究的重要桥梁。