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神经网络求解微分方程是一种新兴的数值方法。传统的数值方法需要网格离散化，而神经网络方法可以直接逼近解函数。这种方法的核心思想是用神经网络来表示微分方程的解，然后通过训练网络来找到满足方程和边界条件的近似解。
自动微分是神经网络求解微分方程的核心技术。由于神经网络本质上是复合函数，我们可以利用链式法则自动计算出网络输出关于输入的各阶导数。这样，当我们需要计算偏导数或高阶导数时，不需要手工推导，计算机可以自动完成这个过程，大大简化了实现难度。
构建合适的损失函数是训练成功的关键。损失函数通常包含两个主要部分：微分方程残差损失和边界条件损失。微分方程残差损失衡量神经网络输出代入微分方程后的残差大小，边界条件损失确保解满足给定的边界或初始条件。总损失是这两部分的加权和，通过调整权重可以平衡两个约束的重要性。
训练过程是一个迭代优化的过程。我们使用梯度下降或其他优化算法，通过反向传播计算损失函数关于网络参数的梯度，然后沿着梯度的反方向更新参数。随着训练的进行，损失函数值会逐渐减小，神经网络的输出会越来越接近微分方程的真实解。这个过程需要多次迭代才能收敛到满意的结果。
训练完成后，神经网络就成为了微分方程的近似解函数。与传统数值方法不同，神经网络提供的是连续的解函数，可以在定义域内的任意点计算函数值，而不需要插值。这种方法的主要优势包括：无需网格离散化、能处理复杂几何、容易处理高维问题，以及可以直接获得解的导数信息。这就是物理信息神经网络的核心价值。