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二项式定理是数学中的一个重要公式，用于展开形如(a+b)的n次幂。它的一般形式是(a+b)的n次幂等于从k等于0到n的求和，每一项都是二项式系数乘以a的n减k次幂再乘以b的k次幂。例如，(a+b)的平方等于a平方加2ab加b平方，(a+b)的立方等于a立方加3a平方b加3ab平方加b立方。
二项式系数是二项式定理的核心。二项式系数C(n,k)表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数，计算公式是n的阶乘除以k的阶乘乘以n减k的阶乘。这些系数可以排列成帕斯卡三角形，每一行对应不同的n值，每个数字都是上方两个数字的和。
现在让我们通过展开(a+b)的三次方来演示二项式定理的具体应用。首先写出原式，然后应用二项式定理的求和公式，展开每一项的二项式系数和幂次，计算出具体的系数值，最后得到完整的展开式：a的三次方加3a的平方b加3ab的平方加b的三次方。
二项式定理还有直观的几何意义。以(a+b)的平方为例，我们可以将其理解为边长为a加b的正方形的面积。这个正方形可以分解为四个部分：一个边长为a的小正方形，面积为a的平方；一个边长为b的小正方形，面积为b的平方；以及两个长为a宽为b的矩形，面积各为ab。因此总面积就是a的平方加2ab加b的平方。
二项式定理在数学的许多分支中都有重要应用。在概率论中用于计算二项分布，在代数中用于多项式展开，在微积分中用于近似计算，在组合数学中用于计算组合数。当a等于1时，我们得到特殊形式(1+x)的n次幂等于二项式系数与x的幂次的乘积之和。二项式定理是连接代数、几何和概率的重要桥梁。