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最大公因数是两个或多个整数共有因数中最大的一个，最小公倍数是两个或多个整数共有倍数中最小的一个。以12和18为例，我们来看看它们的因数。12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18。它们的公因数是1、2、3、6，其中最大的是6，所以最大公因数是6。
质因数分解法是求最大公因数的重要方法。首先将每个数分解为质因数，12等于2的2次方乘以3，18等于2乘以3的2次方。然后找出共有的质因数，2和3都是共有的，取最小次数，即2的1次方和3的1次方。最后将共有质因数相乘，得到最大公因数为6。我们也可以用短除法，用公因数2和3依次除，最终得到相同结果。
辗转相除法，也叫欧几里得算法，是求最大公因数的高效方法。以18和12为例，先用18除以12，得商1余6。然后用12除以6，得商2余0。当余数为0时停止，此时的除数6就是最大公因数。这个算法的原理是，两个数的最大公因数等于较小数和余数的最大公因数。辗转相除法特别适合处理较大的数。
最小公倍数有三种主要求解方法。列举法是列出各数的倍数，找出最小的公倍数。12的倍数有12、24、36等，18的倍数有18、36、54等，最小公倍数是36。质因数分解法是取各质因数的最高次幂，12等于2的2次方乘以3，18等于2乘以3的2次方，所以最小公倍数等于2的2次方乘以3的2次方等于36。公式法利用最小公倍数等于两数乘积除以最大公因数，即12乘以18除以6等于36。
总结一下，求最大公因数和最小公倍数的方法包括列举法、质因数分解法、辗转相除法和公式法。列举法适用于较小数字，质因数分解法是通用方法，辗转相除法求最大公因数最高效，公式法可以实现最大公因数与最小公倍数的互求。重要公式是两数的最大公因数乘以最小公倍数等于两数的乘积。这些方法在分数通分、周期问题等实际应用中非常有用。掌握这些方法可以高效解决数论基础问题。