仔细讲解题目，视频时长5分钟。3、半圆形拱门设计实例：某社区要建一个半圆形拱门，跨度（直径）为6米，高度至少要达到2.8米才能让消防车通过。问题：① 计算这个拱门的半径是多少米？② 若拱顶挂一盏灯，灯距离地面2.8米时，灯到拱门边缘的水平距离是多少？ 4、摩天轮座位角度实例：游乐园的摩天轮直径为50米，均匀分布24个座位。问题：① 相邻两个座位间的圆心角是多少度？② 若小明坐在座位上，从最低点到最高点经过的弧长是多少？（Π取3.14） 5、篮球场三分线实例：标准篮球场三分线是由一段半径为6.75米的圆弧和两条线段组成，圆弧对应的圆心角是140°。问题：① 计算这段圆弧的长度是多少米？（Π取3.14）② 若将三分线半径扩大0.5米，圆弧长度增加多少？ 6、扇子展开角度实例：一把折扇完全展开后，扇骨长度为30厘米，扇面弧长为47.1厘米。问题：这把扇子展开的圆心角是多少度？（Π取3.14） 7、阿基米德的圆面积实例：阿基米德证明圆面积等于以半径为高、周长为底的三角形面积。若圆半径为5厘米。问题：分别用圆面积公式和阿基米德的方法计算面积，验证结论是否一致。 8、刘徽的割圆术实例：刘徽从圆内接正六边形开始，每次边数加倍计算周长。若圆半径为1，计算内接正十二边形的边长。

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我们来看一个半圆形拱门的设计实例。某社区要建一个跨度为6米的半圆形拱门，高度至少要达到2.8米才能让消防车通过。首先，我们需要计算拱门的半径。由于跨度是直径，所以半径等于直径的一半，即6除以2等于3米。 接下来看摩天轮的问题。游乐园的摩天轮直径为50米，均匀分布24个座位。首先计算相邻两个座位间的圆心角。整个圆周是360度，24个座位将圆周等分，所以相邻座位间的圆心角等于360度除以24，等于15度。然后计算从最低点到最高点的弧长。这是半个圆周的长度，等于π乘以直径除以2，即3.14乘以50除以2，等于78.5米。 现在来看篮球场三分线的问题。标准篮球场三分线的圆弧半径为6.75米，圆心角是140度。计算圆弧长度使用公式：弧长等于圆心角除以360度乘以2π乘以半径。代入数值：140除以360乘以2乘以3.14乘以6.75，等于16.485米。如果半径扩大0.5米变成7.25米，新的弧长为17.706米，增加了1.221米。 最后看扇子的问题。一把折扇完全展开后，扇骨长度为30厘米，扇面弧长为47.1厘米。要求扇子展开的圆心角。我们使用弧长公式的逆运算：圆心角等于弧长除以半径再乘以180除以π。代入数值：47.1除以30乘以180除以3.14，等于90度。所以这把扇子展开的圆心角是90度。 首先看半圆形拱门设计实例。某社区要建一个半圆形拱门，跨度为6米，高度至少要达到2.8米。第一问：计算拱门半径。由于拱门是半圆形，半径等于直径的一半，即6除以2等于3米。第二问：拱顶挂灯，灯距地面2.8米时的水平距离。利用勾股定理，设水平距离为x，则x平方加2.8平方等于3平方，解得x约为1.08米。 接下来是摩天轮座位角度实例。摩天轮直径50米，均匀分布24个座位。第一问：相邻座位间圆心角为360度除以24等于15度。第二问：从最低点到最高点的弧长。先求半径，为50除以2等于25米。半圆弧长等于π乘以r，即3.14乘以25等于78.5米。 第三个是篮球场三分线实例。三分线由半径6.75米的圆弧组成，圆心角140度。第一问：弧长计算。弧长等于圆心角除以360度乘以2πr，即140除以360乘以2乘以3.14乘以6.75，约等于16.5米。第二问：半径扩大0.5米后，新半径7.25米，新弧长约17.7米，增加1.2米。 第四个例子是扇子展开角度。折扇完全展开后，扇骨长度30厘米，扇面弧长47.1厘米。求展开的圆心角。利用弧长公式：弧长等于圆心角除以360度乘以2πr。代入数值：47.1等于θ除以360度乘以2乘以3.14乘以30。解得θ等于47.1乘以360除以188.4，等于90度。 最后我们验证阿基米德的圆面积公式。阿基米德证明圆面积等于以半径为高、周长为底的三角形面积。对于半径5厘米的圆，用圆面积公式计算：π乘以r的平方等于3.14乘以25等于78.5平方厘米。用阿基米德方法：三角形面积等于二分之一乘以底乘以高，即二分之一乘以2πr乘以r，等于πr的平方，同样是78.5平方厘米。两种方法结果一致，验证了阿基米德的结论。