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欧拉定理是数学中的重要概念，以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名。在数学的不同领域中，有多个以欧拉命名的定理和公式。主要包括数论中的欧拉定理、复变函数中的欧拉公式，以及几何学中的欧拉公式。这些定理都体现了欧拉在数学各个分支的杰出贡献。
数论中的欧拉定理是费马小定理的推广。它说明如果两个正整数a和n互质，那么a的φ(n)次方模n同余于1。这里φ(n)是欧拉函数，表示小于等于n且与n互质的正整数个数。例如，当n等于8时，与8互质的数有1、3、5、7，共4个，所以φ(8)等于4。
复变函数中的欧拉公式是数学史上最重要的公式之一。它建立了指数函数与三角函数之间的深刻联系。公式表明e的ix次方等于余弦x加上i倍的正弦x。在单位圆上，任意一点都可以用这个公式表示。当x等于π时，我们得到著名的欧拉恒等式，它被誉为数学中最美的公式。
几何学中的欧拉公式描述了凸多面体的一个重要性质。公式表明顶点数减去棱数再加上面数等于2。这个公式对所有凸多面体都成立。以立方体为例，它有8个顶点、12条棱和6个面，代入公式得到8减12加6等于2，验证了欧拉公式的正确性。
欧拉定理展现了数学的统一性和美妙。无论是数论中的模运算，复分析中指数函数与三角函数的联系，还是几何中多面体的拓扑性质，都体现了欧拉深刻的数学洞察力。这些定理不仅在纯数学中具有重要地位，在现代科学技术的各个领域也有广泛应用，充分体现了数学各分支之间的深刻联系。