12. 抛物线 \( C : {y}^{2} = \frac{1}{3}x \) 的焦点为 \( F \) ,准线为 \( l \) ,点 \( M\left( {a,\left| a\right| }\right) \) ,圆 \( M \) 过点 \( F \) 且与 \( l \) 相切,试写出点 \( M \) 的一个可能坐标为_____. 请你生成试题讲解视频 1、注意配置中文音频 2、能够使用函数图像表述 就进行绘制

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我们来解决一个关于抛物线的几何问题。给定抛物线 y 的平方等于三分之一 x，我们需要找到焦点 F 和准线 l，然后确定满足条件的点 M 的坐标。首先，让我们分析抛物线的基本性质。 根据抛物线的标准方程 y 的平方等于 2px，我们可以确定参数 p。由于 y 的平方等于三分之一 x，所以 2p 等于三分之一，因此 p 等于六分之一。焦点 F 的坐标为 p 除以 2，即十二分之一，零。准线 l 的方程为 x 等于负的 p 除以 2，即 x 等于负十二分之一。 现在我们分析圆M的几何条件。点M的坐标为(a, |a|)，圆M过焦点F且与准线l相切。这意味着圆心M到焦点F的距离等于圆的半径，同时圆心M到准线l的距离也等于圆的半径。因此，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。这正是抛物线的定义！所以点M必须在抛物线上。 现在我们建立方程来求解点M的坐标。由于点M在抛物线上，将M(a,|a|)代入抛物线方程，得到|a|的平方等于三分之一a。分情况讨论：当a大于等于0时，|a|等于a，方程变为a的平方等于三分之一a，整理得a乘以(a减去三分之一)等于0，解得a等于0或a等于三分之一。当a小于0时，得到相同的方程，但由于a小于0不符合条件，所以有效解为a等于0和a等于三分之一。 最后我们验证答案并得出结论。我们得到两个可能的点M：M1坐标为(0,0)和M2坐标为(三分之一,三分之一)。通过验证可以确认这两个点都满足条件：它们到焦点F的距离等于到准线l的距离。因此，点M的一个可能坐标为(三分之一,三分之一)。这就是我们的最终答案。