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函数极限是微积分的基础概念。当自变量x无限接近某个值a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L。这里我们看到一个例子，当x接近1时，函数值接近2，尽管在x等于1处函数可能没有定义。
直接代入法是求函数极限最基本的方法。当函数在某点连续时，我们可以直接将趋近值代入函数中计算极限。例如求x趋近于2时x²+2x-1的极限，我们直接代入x=2，得到4+4-1=7。图像显示函数在x=2处是连续的，所以极限值就等于函数值。
当直接代入出现零比零的不定式时，我们需要使用因式分解与约分法。以(x²-1)/(x-1)在x趋近于1的极限为例，直接代入得到0/0。我们将分子因式分解为(x+1)(x-1)，约去公因式(x-1)后得到x+1，再代入x=1得到极限值2。图像显示函数在x=1处有一个可去间断点。
洛必达法则是处理不定式的强大工具。当遇到0/0或无穷比无穷型不定式时，如果分子分母的导数存在，我们可以对分子分母分别求导，然后求新函数的极限。经典例子是sin(x)/x在x趋近于0时的极限，应用洛必达法则得到cos(x)/1的极限，结果为1。
重要极限和等价无穷小是求极限的重要工具。最著名的重要极限是sin(x)/x在x趋近于0时等于1。当x趋近于0时，我们还有许多等价无穷小，如sin(x)等价于x，tan(x)等价于x等。这些工具可以大大简化复杂极限的计算过程。