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反演变换是几何学中的一种重要变换。给定一个中心点O和半径r，对于平面上任意一点P，它的反演点P'满足：O、P、P'三点共线，且OP乘以OP'等于r的平方。这个变换具有许多奇妙的几何性质。
反演变换具有几个重要性质。首先，位于反演圆上的点在变换后保持不变。其次，圆内的点会被映射到圆外，而圆外的点则被映射到圆内，距离中心越近的点映射得越远。反演变换还具有保角性，即保持曲线间的夹角不变。
反演变换对圆和直线有特殊的映射规律。不经过反演中心的圆会变换成另一个圆，而经过中心的圆则变换成直线。相反地，不经过中心的直线会变换成经过中心的圆，而经过中心的直线则保持为直线。这些性质使得反演变换在几何学中具有重要应用。
反演变换可以用坐标公式精确表达。对于平面上的点，其反演点的坐标为：x'等于r²乘以x除以x²加y²，y'等于r²乘以y除以x²加y²。在复数形式中，反演变换表示为z'等于r²除以z的共轭。让我们看看点在反演变换下的运动轨迹。
反演变换在数学和科学的许多领域都有重要应用。在几何学中，它是解决复杂几何问题的有力工具，能将某些困难的证明转化为简单的形式。在复分析中，反演变换是重要的共形映射。在物理学中，它用于场的变换。反演变换展示了几何变换的美妙性质，是数学中的重要概念。