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欧拉公式是数学史上最优美的公式之一，它将自然对数的底e、虚数单位i、三角函数完美地结合在一起。这个公式不仅在纯数学中具有重要地位，更在现代人工智能，特别是大型语言模型中发挥着关键作用。
在复平面上，欧拉公式有着直观的几何解释。复数e的i倍θ次方表示一个单位向量，它从实轴正方向开始，逆时针旋转θ角度。向量的实部坐标就是余弦值，虚部坐标就是正弦值。这种旋转具有周期性，每旋转2π就回到原位置。
Transformer模型虽然在自然语言处理中表现出色，但面临一个根本性挑战：自注意力机制本身无法感知序列中元素的位置。比如句子'我爱学习数学'，模型无法区分词语的先后顺序。为了解决这个问题，研究者引入了位置编码技术。
Transformer模型使用正弦和余弦函数来生成位置编码。对于偶数维度使用正弦函数，奇数维度使用余弦函数。不同维度使用不同的频率，这样每个位置都能获得唯一的编码向量。这种设计的巧妙之处在于，它利用了三角函数的周期性和正交性。
欧拉公式为位置编码提供了深刻的数学直觉。位置编码本质上是利用复指数在复平面上的旋转特性。不同频率的正弦和余弦函数组合，就像不同速度旋转的复指数，在高维空间中创造出独特的螺旋模式。这使得每个位置都有唯一的编码，为大模型提供了强大的位置感知能力。欧拉公式的优美，在人工智能时代焕发出新的光彩。