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倍角公式是三角函数中的重要公式，它将角2θ的三角函数值用角θ的三角函数值来表示。在单位圆中，我们可以看到角θ和角2θ的关系。当角θ变化时，角2θ是它的两倍。
正弦倍角公式是sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。这个公式可以从和角公式推导出来。sin(2θ)等于sin(θ+θ)，根据和角公式展开后得到2sin(θ)cos(θ)。在单位圆中，我们可以看到sin(2θ)的值是sin(θ)和cos(θ)乘积的两倍。
余弦倍角公式有三种形式。第一种是cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)，这是从和角公式直接推导的。利用恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以得到另外两种形式：cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1和cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ)。在单位圆中可以看到cos(2θ)与cos(θ)、sin(θ)的关系。
正切倍角公式是tan(2θ) = 2tan(θ)除以1减tan²(θ)，其中tan²(θ)不等于1。这个公式通过将tan(2θ)表示为sin(2θ)除以cos(2θ)，然后代入正弦和余弦的倍角公式推导得出。在几何上，我们可以通过单位圆的切线来理解正切函数的倍角关系。
倍角公式在数学和科学中有广泛应用。它们可以用于三角函数的化简、求解三角方程、积分运算以及物理学中的振动分析。通过图像可以看到，sin(2x)的周期是sin(x)的一半，频率是两倍，这正体现了倍角公式的几何意义。掌握倍角公式对于深入理解三角函数性质非常重要。