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函数的极限是微积分中最基础的概念。当我们说函数f(x)在x趋近于x₀时的极限是L，意思是当x无限接近x₀时，函数值f(x)会无限接近L。注意，极限关注的是函数在某点附近的行为，而不是函数在该点的实际值。
极限具有重要的性质。首先是唯一性，如果极限存在，那么极限值是唯一确定的。其次是局部有界性，函数在趋近点附近的值是有界的。还有保号性，如果极限大于零，那么在趋近点附近函数值也大于零。最重要的是极限的运算法则，包括加减法、乘法和除法法则。
计算极限有多种方法。最简单的是直接代入法，适用于连续函数。对于不定式，可以使用因式分解法，先约去公因子再求极限。处理根式时常用有理化法。还有一些重要极限公式，如正弦函数的极限和自然对数底数e的定义极限，这些都是微积分中的基础工具。
极限具有重要的性质。首先是唯一性，如果极限存在，那么极限值是唯一确定的。其次是局部有界性，函数在趋近点附近的值是有界的。还有保号性，如果极限大于零，那么在趋近点附近函数值也大于零。最重要的是极限的运算法则，包括加减法、乘法和除法法则。
计算极限有多种方法。最简单的是直接代入法，适用于连续函数。对于不定式，可以使用因式分解法，先约去公因子再求极限。处理根式时常用有理化法。还有一些重要极限公式，如正弦函数的极限和自然对数底数e的定义极限，这些都是微积分中的基础工具。
在某些情况下，我们需要考虑左极限和右极限。左极限是指x从左侧趋近x₀时的极限值，右极限是指x从右侧趋近x₀时的极限值。函数在某点的极限存在的充要条件是左极限等于右极限。如果左极限不等于右极限，那么该点的极限就不存在。
极限在数学中有广泛的应用。它是连续性的基础，函数在某点连续当且仅当极限值等于函数值。导数的定义就是一个极限过程。定积分是黎曼和的极限。级数的收敛性也通过极限来判断。我们还回顾了几个重要的极限公式。极限是整个微积分学的基础，掌握好极限概念对学习高等数学至关重要。