A population y changes at a rate modeled by the differential equation dy/dt= 0.2y (1000 - y), where t is measured in years. What are all values of y for which the population is increasing at a decreasing rate? (A) 500 only (B) 0 < y < 500 only (C) 500 < y < 1000 only (D) 0 < y < 1000 (E) y > 1000

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一个关于人口增长的微分方程问题。给定方程dy/dt等于0.2y乘以1000减y。我们需要找到人口增长率递减时y的取值范围。首先观察这个函数图像，它是一个开口向下的抛物线，在y等于500时达到最大值。 首先分析人口增长的条件。人口增长要求变化率dy/dt大于0。将给定方程0.2y乘以1000减y大于0，由于0.2是正数，所以需要y乘以1000减y大于0。这个二次函数在y等于0和y等于1000时为零，在0到1000之间为正，所以人口增长的条件是0小于y小于1000。 接下来计算二阶导数来判断增长率的变化。使用链式法则，二阶导数等于一阶导数对y的导数乘以一阶导数本身。计算0.2y乘以1000减y对y的导数，得到200减0.4y。因此二阶导数等于200减0.4y乘以0.2y乘以1000减y。关键是200减0.4y这一项，当y小于500时为正，当y大于500时为负。 现在确定增长率递减的条件。增长率递减要求二阶导数小于0。在人口增长的区间0小于y小于1000内，0.2y乘以1000减y始终大于0，因此需要200减0.4y小于0，即y大于500。结合人口增长的条件，最终答案是500小于y小于1000。在这个区间内，人口仍在增长，但增长率在递减。 综合以上分析，我们得出最终答案。人口增长率递减的条件是500小于y小于1000。这对应选择题的答案C。在这个区间内，人口数量仍在持续增长，但增长的速度逐渐放缓，直到接近承载量1000时增长率趋于零。这是典型的逻辑增长模型的特征。