解题---22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = ρcosθ + 1. (1) 写出 C 的直角坐标方程； (2) 设直线 l: { x = t, y = t + a (t为参数)，若 C 与 l 相交于 A, B 两点，若 |AB| = 2, 求 a 的值。

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我们来解决这道极坐标转换问题。题目给出曲线C的极坐标方程为ρ等于ρcosθ加1。要将其转换为直角坐标方程，我们需要使用极坐标与直角坐标的转换公式。 现在我们逐步求解直角坐标方程。从原方程ρ等于ρcosθ加1开始，移项得到ρ减ρcosθ等于1。利用x等于ρcosθ的关系，可以写成ρ减x等于1，即ρ等于x加1。两边平方得ρ的平方等于x加1的平方。代入ρ平方等于x平方加y平方，展开化简后得到曲线C的直角坐标方程为y平方等于2x加1，这是一条开口向右的抛物线。 现在解决第二问。直线l的参数方程为x等于t，y等于t加a。要找到直线与抛物线的交点，我们将直线的参数方程代入抛物线方程y平方等于2x加1中。代入后得到t加a的平方等于2t加1。展开这个方程得到t平方加2at加a平方等于2t加1，整理后得到关于t的二次方程：t平方加括号2a减2括号t加括号a平方减1括号等于0。 现在利用韦达定理来求解。设两个交点对应的参数分别为t1和t2。由于直线的参数方程特点，线段AB的长度等于根号2乘以t2减t1的绝对值。已知AB等于2，所以t2减t1的绝对值等于根号2，即t2减t1的平方等于2。根据韦达定理，t1加t2等于负的2a减2，即2减2a；t1乘t2等于a平方减1。利用恒等式，t2减t1的平方等于t1加t2的平方减4倍t1乘t2，代入得到8减8a。 现在求解最终答案。联立前面得到的两个方程：t2减t1的平方等于2，以及8减8a等于2。从第二个方程可得8a等于6，所以a等于四分之三。我们需要验证这个答案的合理性。当a等于四分之三时，判别式等于8减8a等于2，大于0，说明方程有两个不同的实根，直线与抛物线确实有两个交点，符合题意。因此，a的值为四分之三。