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我们要求函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x 的单调区间。解决这类问题的基本思路是：首先求出函数的导数，然后令导数等于零求出临界点，最后通过判断导数在各区间的符号来确定函数的单调性。
第一步是求函数的导数。对于函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x，我们逐项求导：x³ 的导数是 3x²，-3x² 的导数是 -6x，2x 的导数是 2。因此得到导数 f'(x) = 3x² - 6x + 2。图中蓝色曲线是原函数，红色曲线是导数函数。
第二步是求临界点。令导数 f'(x) = 3x² - 6x + 2 等于零。使用求根公式解这个二次方程，得到两个临界点：x₁ = (3 - √3)/3 和 x₂ = (3 + √3)/3。在图中，这两个点就是导数函数与 x 轴的交点，用黄色圆点标出。
第三步是判断导数在各区间的符号。临界点将实数轴分为三个区间。在第一个区间取 x=0，f'(0)=2>0，导数为正。在中间区间取 x=1，f'(1)=-1<0，导数为负。在第三个区间取 x=2，f'(2)=2>0，导数为正。图中绿色区域表示导数为正，红色区域表示导数为负。
根据导数符号分析，我们得出最终答案。当导数大于零时，函数单调递增，对应区间为负无穷到第一个临界点，以及第二个临界点到正无穷。当导数小于零时，函数单调递减，对应两个临界点之间的区间。图中用绿色箭头表示递增区间，红色箭头表示递减区间，红点标出了两个临界点。