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三角函数起源于古代数学家对直角三角形的研究。在直角三角形中，我们定义角θ的对边、邻边和斜边。通过研究这些边长之间的比值关系，数学家们发现了描述角度与边长关系的重要工具，这就是三角函数的基础。
基于直角三角形，我们定义三个基本的三角函数。正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。这些简单的比值关系构成了整个三角函数理论的基础，让我们能够通过已知的角度和一条边来计算三角形的其他边长。
为了将三角函数推广到任意角度，数学家引入了单位圆的概念。在单位圆中，角θ的终边与圆的交点坐标直接给出了三角函数值：x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这样，三角函数就不再局限于锐角，可以定义任意大小的角，包括钝角、负角和大于360度的角。
三角函数的图像清楚地展示了它们的周期性质。正弦函数从零开始，先上升到1，然后下降到负1，最后回到零，完成一个周期。余弦函数则从1开始，经过零点下降到负1，再回升到1。这两个函数都以2π为周期不断重复。这种波形在物理学中广泛用于描述振动、波动和周期性现象。
三角函数有许多重要的恒等式，其中最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。三角函数在现代科学技术中有极其广泛的应用：在物理学中描述波动和振动现象，在工程学中用于信号处理，在天文学中计算天体运动，在计算机图形学中实现旋转和动画效果，在导航系统中进行精确定位。可以说，三角函数是连接纯数学与实际应用的重要桥梁。