视频字幕
对数函数是指数函数的反函数。一般形式为 y 等于 log 底数 a 的 x。其中 a 是底数，x 是真数，y 是对数。图中红色曲线是对数函数，蓝色曲线是指数函数，它们关于直线 y 等于 x 对称，这体现了它们互为反函数的关系。
对数函数有重要的性质。底数 a 必须大于 0 且不等于 1。定义域是所有正实数，值域是所有实数。当底数大于 1 时函数单调递增，当底数在 0 到 1 之间时函数单调递减。图中红色曲线是底数为 2 的对数函数，蓝色曲线是底数为 0.5 的对数函数，都有垂直渐近线 x 等于 0。
对数与指数有着密切的关系。y 等于 log 底数 a 的 x，等价于 x 等于 a 的 y 次幂。例如，log 底数 2 的 8 等于 3，等价于 2 的 3 次幂等于 8。log 底数 10 的 100 等于 2，等价于 10 的 2 次幂等于 100。对数的本质就是求一个数 y，使得 a 的 y 次幂等于 x。
在实际应用中，最常用的是常用对数和自然对数。常用对数以 10 为底，记作 lg x。自然对数以 e 为底，记作 ln x，其中 e 约等于 2.718。图中红色曲线是常用对数，蓝色曲线是自然对数。注意所有对数函数都经过点 (1, 0)，因为任何底数的 0 次幂都等于 1。
对数有重要的运算法则。乘积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于指数乘以底数的对数，根式的对数等于对数除以根指数。换底公式允许我们将任意底数的对数转换为其他底数的对数。这些法则在科学计算、工程技术和数据分析中有广泛应用。