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傅立叶变换是数学中一个强大的工具，它能够将复杂的信号分解成简单的正弦波和余弦波的组合。通过这种变换，我们可以从时域转换到频域，揭示信号中隐藏的频率成分。
傅立叶变换的数学定义是一个积分公式，它将时域函数f(t)转换为频域函数F(ω)。这个变换是可逆的，通过逆傅立叶变换可以从频域回到时域。例如，高斯函数经过傅立叶变换后仍然是高斯函数。
让我们看看信号分解的过程。首先是一个基本的正弦波，然后加入一个频率更高的正弦波分量。当这两个分量叠加时，就形成了一个复合信号。这个过程展示了傅立叶变换的逆过程：从频域分量重构时域信号。
频谱分析是傅立叶变换最直观的应用。上方是时域中的复合信号，下方是对应的频谱图。频谱图的横轴表示频率，纵轴表示幅度。每个峰值对应信号中的一个频率分量，峰值的高度表示该频率分量的强度。通过快速傅立叶变换，我们可以清楚地看到信号包含哪些频率成分。
傅立叶变换在现代科技中有着广泛的应用。在信号处理中，它用于音频压缩和噪声滤波。在图像处理中，帮助实现图像压缩和边缘检测。在通信系统中，用于频谱分析和调制解调。在物理学中，从量子力学到光学分析都离不开它。傅立叶变换真正成为了连接时域和频域的重要桥梁。