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複數是數學中的重要概念。在實數範圍內，像 x 平方加 1 等於 0 這樣的方程式沒有解。為了讓這類方程式有解，我們引入虛數單位 i，定義 i 的平方等於負 1。複數的一般形式是 a 加 bi，其中 a 是實部，b 是虛部。我們可以在複數平面上表示複數，水平軸是實軸，垂直軸是虛軸。
複數的運算遵循特定規則。加法運算是實部與實部相加，虛部與虛部相加。例如三加二i加上一加四i等於四加六i。減法類似，實部與實部相減，虛部與虛部相減。乘法運算較複雜，需要展開並利用i的平方等於負一。在複數平面上，加法對應向量的平行四邊形法則。
複數的除法需要用到共軛複數的概念。複數z等於a加bi的共軛複數是a減bi，記作z上加一橫。共軛複數有重要性質：z乘以其共軛等於a平方加b平方，這是一個實數。除法運算通過分子分母同時乘以分母的共軛來實現。複數的模表示複數在複數平面上對應點到原點的距離。
複數平面賦予複數豐富的幾何意義。複數z等於a加bi對應平面上的點，坐標為a逗號b。兩個複數之間的距離等於它們差的模。複數還可以用極坐標形式表示，r是模長，θ是幅角。歐拉公式建立了指數函數與三角函數的聯繫，是複數理論的重要基石。
複數在現代科學技術中有廣泛應用。在電路分析中用於處理交流電，在信號處理中用於傅立葉變換，在量子力學中描述波函數，在控制系統中分析穩定性。複數的重要性質包括i的冪的週期性、模的乘法性質、共軛的線性性質等。複數的引入不僅解決了實數範圍內無解的方程，更為數學和科學提供了強大的工具。