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函數是數學中的基本概念。它就像一台機器，你給它一個輸入，它會根據特定的規則給你一個唯一的輸出。例如，函數 f(x) = 2x 將輸入 1 對應到輸出 2，將輸入 2 對應到輸出 4，將輸入 3 對應到輸出 6。每個輸入都有且僅有一個對應的輸出。
函數有三個重要的集合概念。定義域是所有可能輸入值的集合，對應域是所有可能輸出值的集合，而值域是函數實際輸出值的集合。值域是對應域的子集。在這個例子中，定義域 A 中的每個元素都對應到對應域 B 中的一個元素，而值域就是那些實際被對應到的元素組成的集合。
函數可以用多種方式表示。最常見的是函數記號，如 f(x) = 2x + 1。我們也可以用表格列出輸入和輸出的對應關係，或者在坐標平面上畫出函數圖像。每種表示方法都有其優點，函數記號簡潔明確，表格直觀易懂，而圖像能清楚顯示函數的變化趨勢。
區分函數和非函數的關鍵在於垂直線測試。對於函數，定義域中的每個輸入值只能對應一個輸出值。在圖像上，這意味著任何垂直線與函數圖像最多相交一次。左邊的拋物線是函數，因為垂直線只與它相交一次。右邊的圓不是函數，因為垂直線與它相交兩次，表示一個輸入對應兩個輸出。
函數在日常生活中有廣泛應用。例如，溫度隨時間變化、商品價格與需求量的關係、距離與速度時間的關係等。通過函數，我們可以描述這些變化規律，預測未來趨勢，並解決實際問題。函數是連接數學與現實世界的重要橋樑，幫助我們理解和分析周圍的現象。