经验回归方程是统计学中的重要概念。它基于实际观测到的数据点，通过数学方法找出变量之间的最佳拟合关系。图中的蓝色点代表观测数据，红色直线就是根据这些数据建立的经验回归方程。
最小二乘法是建立经验回归方程的标准方法。它通过最小化所有数据点到拟合直线的距离平方和来确定最佳参数。图中绿色虚线表示残差，即实际值与预测值的差异。最小二乘法就是要使这些残差的平方和达到最小值。
相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱程度，取值范围在负1到正1之间。决定系数R²等于相关系数的平方，表示回归方程对数据的拟合优度。图中蓝色点显示强相关关系，红色点显示弱相关关系。相关系数越接近1或负1，说明线性关系越强。
让我们看一个实际应用例子：用身高预测体重。首先收集不同身高和体重的样本数据，然后用最小二乘法计算回归参数，建立经验回归方程。图中显示了身高体重的散点图和拟合直线。通过这个方程，我们可以根据身高预测体重，这在医学和健康评估中很有用。
经验回归方程是根据样本数据建立变量间关系的数学模型。它通过分析大量的观测数据，找出变量间的线性关系规律。经验回归方程的一般形式是 y hat 等于 a 加 b x，其中 y hat 是预测值，x是自变量，a是截距，b是斜率。图中展示了散点图和对应的回归直线。
最小二乘法是确定回归方程系数的基本方法。其原理是使所有观测点到回归直线的距离的平方和最小。图中绿色线段表示残差，即实际值与预测值的差。通过最小化残差平方和，我们可以得到最佳的回归系数a和b的计算公式。
让我们通过一个具体示例来演示回归方程的计算过程。给定五个数据点，首先计算x和y的均值，然后利用最小二乘法公式计算斜率b和截距a。在这个例子中，我们得到回归方程为 y hat 等于 2.2 加 x。图中红点表示数据的均值点，绿线是拟合的回归直线。
相关系数r用来衡量两个变量间线性关系的强度和方向。r的取值范围是负1到正1之间。当r的绝对值接近1时，表示强相关；接近0时表示弱相关。r大于0表示正相关，小于0表示负相关。图中蓝色点显示了强正相关的情况，红色点显示了弱相关的情况。
使用经验回归方程时需要注意一些重要事项。首先，它只适用于变量间存在线性关系的情况。其次，预测时不应超出原始数据的范围，否则可能产生不可靠的结果。图中绿色区域表示有效预测范围，红色区域表示外推区域，在此区域预测风险较大。此外，还要注意样本量和数据质量对结果的影响。