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傅里叶变换是数学中一个强大的工具，它能够将复杂的信号分解成简单的正弦波成分。通过这种变换，我们可以从时域转换到频域，清楚地看到信号包含哪些频率以及每个频率的强度。
傅里叶变换的数学定义使用复指数函数。连续傅里叶变换将时域函数f(t)转换为频域函数F(ω)，而逆变换则将频域函数转换回时域。这里展示的是高斯函数的例子，它的傅里叶变换仍然是高斯函数，体现了变换的对称性。
这里演示了信号分解的过程。我们可以看到一个复杂的信号实际上是由基频、三倍频和五倍频的正弦波叠加而成。傅里叶变换的作用就是将这样的复合信号分解，找出其中包含的各个频率成分及其幅度。
时域和频域是观察信号的两种不同视角。在时域中，我们看到信号随时间的变化；而在频域中，我们看到信号包含哪些频率成分。快速傅里叶变换FFT算法使得这种转换变得高效，广泛应用于数字信号处理中。
傅里叶变换在现代科技中有着极其广泛的应用。在信号处理领域，它用于音频压缩和滤波；在图像处理中，JPEG压缩和边缘检测都离不开它；通信系统的调制解调、医学成像的MRI和CT扫描、量子力学的波函数分析，以及各种数据的频谱分析，都依赖于傅里叶变换。可以说，傅里叶变换是现代科技发展的重要基石。