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拋物線是平面解析幾何中的重要曲線。它的定義是：平面上所有點的集合，這些點到一個定點焦點的距離，等於到一條定直線準線的距離。圖中藍色曲線就是拋物線，紅點是焦點F，綠色直線是準線，紫點是頂點V。對於拋物線上任意一點P，它到焦點的距離等於到準線的距離。
現在我們推導拋物線的標準方程式。設頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點F在點(p, 0)，準線方程式為x等於負p。對於拋物線上任意一點P(x, y)，根據拋物線定義，P到焦點F的距離等於P到準線的距離。經過代數運算，我們得到拋物線的標準方程式：y的平方等於4px。
拋物線有四種標準方程式，取決於開口方向。當頂點在原點時：y平方等於4px表示開口向右的拋物線；y平方等於負4px表示開口向左；x平方等於4py表示開口向上；x平方等於負4py表示開口向下。參數p的絕對值決定拋物線的開口大小，p的符號決定開口方向。
當拋物線的頂點不在原點，而是在點(h, k)時，我們需要使用平移後的一般方程式。如果對稱軸平行於x軸，方程式為(y減k)的平方等於4p乘以(x減h)。如果對稱軸平行於y軸，方程式為(x減h)的平方等於4p乘以(y減k)。圖中展示了頂點在(2,1)的拋物線例子。
拋物線具有許多重要性質和廣泛應用。其反射性質使得平行於對稱軸的光線經拋物面反射後都會通過焦點，這個性質被應用在拋物面天線和汽車頭燈設計中。拋物線還有焦點弦長公式和切線性質等重要數學特性。在物理學中，拋物線描述了拋物運動的軌跡。這些性質使拋物線成為數學和工程中極其重要的曲線。