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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用公式表示就是a的平方加b的平方等于c的平方。
我们可以用正方形面积的方法来证明勾股定理。构造一个边长为c的大正方形，它可以分解为四个直角三角形和一个边长为b减a的小正方形。大正方形面积c的平方等于四个三角形面积加小正方形面积，化简后得到c的平方等于a的平方加b的平方。
另一种直观的证明方法是在直角三角形的三条边上分别构造正方形。红色正方形的面积是a的平方，绿色正方形的面积是b的平方，黄色正方形的面积是c的平方。根据勾股定理，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。
让我们用具体的数字来验证勾股定理。以著名的3-4-5直角三角形为例。a等于3，其平方为9；b等于4，其平方为16；c等于5，其平方为25。我们计算a的平方加b的平方，得到9加16等于25，正好等于c的平方。这验证了勾股定理的正确性。
勾股定理在实际生活中有广泛的应用。比如在建筑工程中，我们需要计算梯子的长度。已知建筑物高度为3米，梯子底部距离墙面0.5米，利用勾股定理可以计算出梯子长度约为3.04米。类似地，勾股定理还广泛应用于导航、工程测量等领域，是数学与实际生活紧密结合的典型例子。