视频字幕
勾股定理是几何学中最著名的定理之一。它表述为：在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。用数学公式表示就是a的平方加b的平方等于c的平方。今天我们将通过面积法来证明这个重要定理。
为了证明勾股定理，我们构造一个边长为a加b的大正方形。然后在这个大正方形内放置四个全等的直角三角形，使它们的直角顶点朝向正方形的四个角，斜边朝内。这样就在中间形成了一个边长为c的小正方形。
现在我们来计算各部分的面积。大正方形的面积是a加b的平方。每个直角三角形的面积是二分之一ab，四个三角形的总面积是2ab。内部小正方形的面积是c的平方。根据面积关系，大正方形的面积等于四个三角形面积加上内部小正方形面积。
现在进行代数推导。从面积等式开始：a加b的平方等于2ab加c的平方。展开左边得到a的平方加2ab加b的平方等于2ab加c的平方。从等式两边同时减去2ab，得到a的平方加b的平方等于c的平方。这就是勾股定理！证明完成。
勾股定理有着广泛的应用。它可以用来计算直角三角形的边长，判断三角形是否为直角三角形，在建筑工程测量、导航定位、物理学矢量计算等领域都有重要作用。例如，边长为3、4、5的三角形，满足3的平方加4的平方等于5的平方，即9加16等于25，所以它是直角三角形。勾股定理是数学史上最重要的定理之一。