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余数定理是多项式理论中的基础定理。它告诉我们，当多项式P(x)除以一次多项式(x-a)时，余数等于P(a)。根据多项式除法，我们有P(x)等于(x-a)乘以商Q(x)加上余数R。当我们将x等于a代入时，得到P(a)等于R。例如，多项式x³-2x²+3x-1除以(x-2)的余数就是P(2)等于5。
因式定理是余数定理的特殊情况。它建立了多项式的零点与因式之间的等价关系：P(a)等于0当且仅当(x-a)是P(x)的因式。例如，对于多项式x³-2x²+x，我们检验P(1)等于0，因此(x-1)是其因式。实际上，这个多项式可以分解为x(x-1)(x-2)，有三个零点：0、1、2。
余数定理和因式定理密切相关。因式定理实际上是余数定理的特殊情况。在余数定理中，我们有P(x)等于(x-a)乘以Q(x)加上余数R，其中R等于P(a)。当余数R等于0时，就得到了因式定理的情况：P(x)等于(x-a)乘以Q(x)，此时P(a)等于0。这两个定理在多项式的计算、因式分解等方面都有重要应用。
让我们通过一个具体例子来看如何应用这两个定理。要分解多项式x³-6x²+11x-6，我们首先寻找可能的零点。根据有理根定理，尝试±1、±2、±3、±6。计算P(1)等于0，所以(x-1)是因式。通过多项式除法得到P(x)等于(x-1)(x²-5x+6)。继续分解二次式得到最终结果：P(x)等于(x-1)(x-2)(x-3)。图像显示了三个零点1、2、3。
总结一下，余数定理告诉我们多项式P(x)除以(x-a)的余数等于P(a)，这为快速计算余数提供了方法。因式定理则建立了P(a)等于0与(x-a)是P(x)因式之间的等价关系，是余数定理在余数为0时的特殊情况。这两个定理在多项式除法、因式分解、求零点、解高次方程等方面都有重要应用，是代数学习中的基础工具，在数学竞赛和高考中也经常出现。