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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化率和累积。微积分包含两个主要部分：微分学研究函数的变化率，如图中红色切线表示的导数；积分学研究累积，如图中绿色区域表示的积分。
微分学是微积分的第一个分支，专门研究变化率。它的核心概念是导数，定义为函数值变化量与自变量变化量比值的极限。导数的几何意义是曲线在某点的切线斜率。图中绿线是割线，当两点无限接近时，割线趋向于红色的切线。
积分学是微积分的第二个分支，专门研究累积。积分的几何意义是函数图像与x轴之间的面积。我们可以用黎曼和来逼近积分值，即用许多小矩形的面积之和来近似曲线下的面积。当矩形数量趋于无穷时，黎曼和就等于积分的精确值。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它揭示了微分学和积分学之间的深刻联系。定理表明，对积分求导等于被积函数本身，而定积分等于原函数在区间端点的差值。这意味着求导和积分是互逆的运算，就像加法和减法、乘法和除法一样。
微积分在现代科学技术中有着极其广泛的应用。在物理学中，微积分用于描述运动和力学；在工程学中用于优化设计；在经济学中进行边际分析；在生物学中建立增长模型；在计算机科学中支撑机器学习算法。可以说，微积分是现代科学技术发展不可缺少的数学基础工具。