函数是数学中的一个基本概念。它描述了两个集合之间的特殊对应关系。在这个关系中，输入集合中的每一个元素，都对应输出集合中的唯一一个元素。我们可以把函数想象成一台机器，每当我们输入一个值，它就会给出一个确定的输出结果。
函数的数学定义更加严格。我们用符号 f: A → B 来表示从集合A到集合B的函数f。这里A叫做定义域，B叫做值域或上域。函数的关键特征是：对于定义域A中的每一个元素x，都有且仅有一个元素f(x)在值域B中与之对应。这种一对一的对应关系确保了函数的确定性。
函数可以用多种方式来表示。最常见的是解析式，比如f(x)等于x的平方。我们也可以用图像来表示函数，这样能直观地看到输入和输出的关系。当我们输入一个x值时，函数会给出对应的y值。让我们看看当x从负2变化到正2时，函数f(x)等于x平方的输出是如何变化的。
函数有几个重要的性质。首先是单值性，这意味着对于定义域中的每一个输入值，函数都给出唯一确定的输出值。上面的例子展示了正确的函数关系，每个输入只对应一个输出。而下面的例子则不是函数，因为有一个输入对应了两个不同的输出，这违反了函数的单值性原则。
函数在我们的日常生活中有着广泛的应用。比如温度随时间的变化、距离与速度的关系、商品价格与需求量的关系等等。这个图表展示了一天24小时内温度的变化规律，我们可以看到温度呈现周期性变化，这就是一个典型的函数关系。通过函数，我们能够理解和预测现实世界中的各种规律和现象。