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三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们最初是用来研究直角三角形中角与边之间的关系的。在直角三角形中，我们有角θ，对边，邻边和斜边。三角函数描述了这些边长之间的比例关系。
基于直角三角形，我们可以定义六个基本三角函数。正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。另外三个函数是它们的倒数：余切等于邻边除以对边，正割等于斜边除以邻边，余割等于斜边除以对边。
通过单位圆，我们可以将三角函数扩展到任意角。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，其x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化，展现了三角函数的周期性质。
三角函数之间存在重要的关系。倒数关系包括余割是正弦的倒数，正割是余弦的倒数，余切是正切的倒数。商数关系表明正切等于正弦除以余弦。最重要的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1，这来源于单位圆上点的坐标满足勾股定理。
三角函数具有重要的周期性质。正弦和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。诱导公式描述了角度变换时函数值的变化规律，如正弦是奇函数，余弦是偶函数。这些性质和关系使得三角函数成为描述周期现象的强大工具，在数学、物理、工程等领域有广泛应用。