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分部积分法是微积分中的一个重要技巧，用于计算两个函数乘积的积分。基本公式是：积分u乘以dv等于uv减去积分v乘以du。这个方法的核心思想是将复杂的积分转化为更简单的积分。
选择u和dv是分部积分法的关键。我们使用LIATE原则：对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数。优先级高的作为u，优先级低的作为dv。例如在积分x乘以e的x次方中，x是代数函数，e的x次方是指数函数，所以选择x作为u，e的x次方dx作为dv。
现在我们完整演示分部积分的求解过程。对于积分x乘以e的x次方，首先选择u等于x，dv等于e的x次方dx。然后求导得到du等于dx，积分得到v等于e的x次方。代入分部积分公式，得到x乘以e的x次方减去e的x次方的积分。最后计算得到结果e的x次方乘以x减1加常数C。
分部积分法有很多经典的应用类型。比如多项式乘以指数函数、多项式乘以三角函数、多项式乘以对数函数等。例如积分x乘以sin x，选择x作为u，sin x dx作为dv，最终得到负x cos x加sin x加常数。对于积分x乘以ln x，选择ln x作为u，x dx作为dv，得到二分之x平方ln x减去四分之x平方加常数。
总结一下分部积分法的要点：首先要掌握LIATE原则，正确选择u和dv；其次要仔细计算du和v，避免计算错误；然后要能够简化新的积分，必要时多次使用分部积分法。常见错误包括选择错误的u和dv、计算du或v时出错、以及忘记加积分常数C。记住核心公式和LIATE原则，多练习不同类型的题目，就能熟练掌握这一重要的积分技巧。