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分部积分法是微积分中的一个重要技巧,用于计算两个函数乘积的积分。基本公式是:积分u乘以dv等于uv减去积分v乘以du。这个方法的核心思想是将复杂的积分转化为更简单的积分。
选择u和dv是分部积分法的关键。我们使用LIATE原则:对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数。优先级高的作为u,优先级低的作为dv。例如在积分x乘以e的x次方中,x是代数函数,e的x次方是指数函数,所以选择x作为u,e的x次方dx作为dv。
现在我们完整演示分部积分的求解过程。对于积分x乘以e的x次方,首先选择u等于x,dv等于e的x次方dx。然后求导得到du等于dx,积分得到v等于e的x次方。代入分部积分公式,得到x乘以e的x次方减去e的x次方的积分。最后计算得到结果e的x次方乘以x减1加常数C。
分部积分法有很多经典的应用类型。比如多项式乘以指数函数、多项式乘以三角函数、多项式乘以对数函数等。例如积分x乘以sin x,选择x作为u,sin x dx作为dv,最终得到负x cos x加sin x加常数。对于积分x乘以ln x,选择ln x作为u,x dx作为dv,得到二分之x平方ln x减去四分之x平方加常数。
总结一下分部积分法的要点:首先要掌握LIATE原则,正确选择u和dv;其次要仔细计算du和v,避免计算错误;然后要能够简化新的积分,必要时多次使用分部积分法。常见错误包括选择错误的u和dv、计算du或v时出错、以及忘记加积分常数C。记住核心公式和LIATE原则,多练习不同类型的题目,就能熟练掌握这一重要的积分技巧。