梯形是一種特殊的四邊形，其定義是至少有一組對邊平行。在梯形中，平行的對邊稱為底邊，分為上底和下底。不平行的邊稱為腰。兩底邊間的垂直距離稱為高。這是梯形最基本的定義和組成要素。
梯形中線定理是梯形的重要性質之一。中線是連接兩腰中點的線段。這條中線有兩個重要性質：第一，它平行於兩底邊；第二，它的長度等於兩底邊長度的算術平均值，即 m 等於 a 加 b 除以 2。
現在我們來證明梯形中線定理。首先延長兩腰 AD 和 BC，使它們相交於點 P。由於上底 AB 平行於下底 DC，我們可以利用相似三角形的性質。M 和 N 分別是兩腰的中點，連接 MN 就是梯形的中線。
梯形的面積公式是上底加下底的和乘以高再除以二。這個公式可以通過多種方法推導，比如將梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形。我們也可以利用之前學過的中線定理：面積等於中線長度乘以高。
等腰梯形是梯形的一種特殊情況，具有額外的對稱性質。首先，兩腰長度相等。其次，同一底邊上的兩個底角相等，即角A等於角B，角C等於角D。第三，兩條對角線長度相等。最後，等腰梯形關於通過兩底邊中點的垂直線對稱。
梯形的第二個重要性質是同側內角互補。由於梯形有一組平行的對邊，根據平行線的性質，當一條直線與兩條平行線相交時，同側內角互補。在梯形中，腰就是這樣的截線，所以同一腰上的兩個角互補，和為一百八十度。
現在我們來推導梯形的面積公式。有多種方法可以推導。第一種是分割法：從上底的一個頂點向下底作垂線，將梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形。第二種是對角線法：用對角線將梯形分成兩個三角形。無論哪種方法，最終都能得到面積等於上底加下底的和乘以高再除以二。
現在我們來嚴格證明梯形中位線定理。首先延長兩腰AD和BC，使它們相交於點P。由於AB平行於DC，根據相似三角形的判定，三角形PAB與三角形PDC相似。M和N分別是AD和BC的中點，所以MN是三角形PDC的中位線。根據三角形中位線定理，MN平行於DC且長度等於AB加DC的和除以2。
等腰梯形具有許多特殊性質。首先，兩腰相等是定義。其次，同一底邊上的兩個底角相等，這可以通過作高線構造全等的直角三角形來證明。第三，兩條對角線相等，這可以用邊角邊全等來證明。第四，等腰梯形關於通過兩底邊中點的垂直線對稱。最後，等腰梯形的對角互補，這使得它可以內接於圓。