对此题进行详细分析讲解---**Source:** (2025 · 常德模拟) **Question Stem:** 已知 (2x - 3)^9 = a_0 + a_1(x-1) + a_2(x-1)^2 + \cdots + a_8(x-1)^8 + a_9(x-1)^9; 则 a_0 + 2a_1 + 3a_2 + \cdots + 9a_8 + 10a_9 = ( ) **Mathematical Formulas/Equations:** Given equation: $(2x - 3)^9 = a_0 + a_1(x-1) + a_2(x-1)^2 + \cdots + a_8(x-1)^8 + a_9(x-1)^9$ Expression to evaluate: $a_0 + 2a_1 + 3a_2 + \cdots + 9a_8 + 10a_9$ **Options:** A. 9 B. 10 C. 18 D. 19

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这是一道关于二项式展开的问题。我们需要分析给定的展开式，并求出系数的加权和。题目给出了二项式(2x-3)的九次方按照(x-1)的幂次展开的形式，要求我们计算各系数乘以相应权重后的和。 解决这个问题的关键是进行变量替换。首先设定函数f(x)等于(2x-3)的九次方。然后令y等于x减1，这样x就等于y加1。将这个替换代入原函数，得到f(y+1)等于(2y-1)的九次方。这样我们就将原问题转化为关于y的多项式P(y)的形式。 解决这个问题的关键技巧是利用导数。我们要求的表达式S等于各系数乘以k加1的和。通过构造函数yP(y)，然后对其求导，可以得到所需的系数组合。当y等于1时，求导后的表达式正好等于我们要求的S。这是一个非常巧妙的数学技巧。 现在进行具体计算。首先构造函数yP(y)等于y乘以(2y-1)的九次方。使用乘积法则求导，得到(2y-1)的九次方加上18y乘以(2y-1)的八次方。当y等于1时，第一项等于1，第二项等于18，所以最终答案是19。 通过变量替换和导数技巧，我们成功求解了这道二项式展开问题。最终答案是19，对应选项D。这种方法体现了数学中函数、导数和二项式定理的巧妙结合，是解决此类问题的经典技巧。