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我们来分析绝对值函数 f(x) = |x| 在 x = 0 点的性质。首先观察函数图像，绝对值函数在原点处形成一个尖角。我们需要判断它在 x = 0 点是否连续以及是否可导。
首先判断函数的连续性。函数值 f(0) 等于 0。当 x 从左侧趋近于 0 时，绝对值函数等于负 x，所以左极限为 0。当 x 从右侧趋近于 0 时，绝对值函数等于 x，所以右极限也为 0。由于左极限等于右极限等于函数值，所以函数在 x=0 点连续。
接下来判断可导性。根据导数定义，我们需要计算极限。当 h 从右侧趋近于 0 时，|h| 等于 h，所以右导数为 1。当 h 从左侧趋近于 0 时，|h| 等于负 h，所以左导数为负 1。由于左导数不等于右导数，所以函数在 x=0 点不可导。
综合分析各选项：选项A错误，因为函数在x=0点连续；选项B错误，因为左右导数不相等所以不可导；选项D错误，因为f(0)=0函数有定义；选项C正确，函数在x=0点连续但不可导。因此正确答案是C。
总结一下，判断函数性质需要分别检查连续性和可导性。连续性要求左极限等于右极限等于函数值，可导性要求左导数等于右导数。绝对值函数在原点处满足连续性条件但不满足可导性条件，因此答案是C：连续但不可导。