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单子是范畴论中的一个基本概念。在范畴C上，单子是一个三元组，包含自函子T、单位自然变换η和乘法自然变换μ。自函子T将范畴C映射到自身，这是单子结构的核心组件。
让我们详细了解单子的组成部分。自函子T将范畴C映射到自身，这意味着它保持在同一个范畴内。单位自然变换η从恒等函子指向T，而乘法自然变换μ从T的平方指向T，这两个自然变换定义了单子的结构。
单子必须满足三个重要的定律。结合律确保乘法运算的结合性，左单位律和右单位律确保单位元的性质。这些定律保证了单子结构的一致性和良好定义，使得单子成为范畴论中的重要代数结构。
单子的一个重要来源是伴随函子对。当我们有函子F左伴随于G时，它们的复合GF自然形成一个单子。单位自然变换来自伴随的单位，而乘法自然变换来自伴随的余单位。这种构造方法在范畴论中非常常见且重要。
单子在数学和计算机科学中有广泛应用。在函数式编程中，单子用于处理副作用和状态管理。在代数拓扑中，单子出现在同调理论中。在代数几何中，单子与层理论密切相关。在逻辑学中，单子用于模态逻辑的语义。单子为这些不同领域提供了统一的理论框架。