在使用帶有「按秩合併」和「路徑壓縮」優化的並查集森林中，執行一個包含 m 次操作（其中 n 次為 `MAKE-SET`）的序列，其最壞情況運行時間是多少？

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

並查集森林是一種高效的數據結構，用於管理不相交的集合。它支持三種主要操作：MAKE-SET創建新集合，FIND查找元素所在集合的代表，UNION合併兩個集合。初始時每個元素都是獨立的集合，通過UNION操作可以將它們合併成樹狀結構。 按秩合併是並查集的第一個重要優化。每個節點維護一個秩值，表示以該節點為根的子樹的高度上界。在合併兩個集合時，總是將秩較小的樹連接到秩較大的樹根下。這樣可以有效控制樹的高度，避免樹變得過深，從而提高FIND操作的效率。 路徑壓縮是並查集的第二個重要優化。在執行FIND操作時，將查找路徑上的所有節點直接連接到根節點，使樹變得更加扁平。這樣後續的FIND操作就能更快地找到根節點。路徑壓縮大幅降低了樹的高度，使得攤銷時間複雜度接近常數。 反阿克曼函數α(n)是阿克曼函數的反函數，它增長得極其緩慢。對於任何實際應用中的n值，α(n)都不超過4，甚至可以視為常數。例如，當n等於2的65536次方這樣的天文數字時，α(n)也只等於5。這使得並查集的時間複雜度在實際應用中接近線性。 綜合以上分析，在使用按秩合併和路徑壓縮優化的並查集森林中，執行m次操作（其中包含n次MAKE-SET操作）的最壞情況時間複雜度是O(m α(n))。由於反阿克曼函數α(n)在實際應用中可視為常數，因此這個複雜度在實踐中接近線性時間O(m)，使並查集成為一個非常高效的數據結構。