视频字幕
这是组合几何中的一个经典问题。给定正整数m，我们要找到最小的n，使得平面上任意n个点中必有m个点构成凸m边形。图中展示了7个点，其中6个点构成了一个凸六边形。
这个问题的答案由著名的Erdős-Szekeres定理给出。该定理指出存在一个最小整数g(m)，答案是2的m减2次方加1。对于小的m值，我们已知g(3)等于3，g(4)等于5，g(5)等于9，g(6)等于17，都符合这个公式。
让我们看一个具体例子。当m等于4时，g(4)等于5。这意味着任意5个点中必有4个点构成凸四边形。图中上方显示了4个点的反例，它们无法构成凸四边形。而下方的5个点中，我们可以找到4个点构成凸四边形。
Erdős和Szekeres给出了这个问题的上界和下界。上界是一个二项式系数加1，下界是2的m减2次方加1。他们猜想精确值就是下界，即2的m减2次方加1。这个猜想对于m小于等于6已经被证实，但对于更大的m值仍然是开放问题。
综上所述，对于给定正整数m，平面上任意n个点中必有m个点构成凸m边形的n的最小值为2的m减2次方加1。这个公式对于m等于3、4、5、6都已经得到验证，是组合几何中的重要结果。