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平面向量是數學中的重要概念，它是具有大小和方向的二維量。我們可以用帶箭頭的線段來表示向量，箭頭的長度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。在坐標系中，向量也可以用有序數對來表示，比如向量a等於括號三逗號二。
向量加法有兩種幾何方法。第一種是三角形法則，將第一個向量的終點作為第二個向量的起點，從第一個向量的起點到第二個向量的終點就是向量和。第二種是平行四邊形法則，將兩個向量放在同一起點，以它們為鄰邊構成平行四邊形，對角線就是向量和。在代數上，向量加法就是對應分量相加。
向量乘法有多種類型。純量乘法是將向量與一個數相乘，結果是改變向量的大小，當係數為負時還會改變方向。點積是兩個向量相乘得到一個數值，等於兩向量長度的乘積再乘以夾角的餘弦值，可用來計算角度和判斷垂直。叉積在二維中表示為一個數值，其絕對值等於兩向量構成的平行四邊形面積。
向量在幾何中有廣泛的應用。我們可以用向量來計算兩點之間的距離，公式是向量長度的平方根。利用點積公式可以計算兩個向量之間的夾角。當兩個向量平行時，其中一個是另一個的純量倍數。當兩個向量垂直時，它們的點積為零。叉積的絕對值可以用來計算三角形或平行四邊形的面積。這些性質使向量成為解決幾何問題的強大工具。
總結一下，平面向量是具有大小和方向的二維量，可以用幾何圖形或代數坐標表示。向量的加減法遵循三角形法則和平行四邊形法則，乘法包括純量乘法、點積和叉積等多種形式。向量在幾何中可以用來計算距離、角度、面積，判斷平行和垂直關係。平面向量不僅是數學的重要概念，更是物理、工程、計算機科學等多個領域的基礎工具，具有廣泛的實際應用價值。