讲解一下这个题目---**Question 4**
**Question Stem:**
如图,抛物线 y = -x² + mx 与直线 y = x + b 交于点 A 和点 B,直线 AB 与 y 轴交 于点 C(0, -2).
**Sub-questions:**
(1) 求抛物线的表达式及顶点坐标.
(2) 求点 A 的坐标,并结合图像直接写出 关于 x 的不等式 -x² + mx ≤ x + b 的 解集.
(3) 若关于 x 的方程 -x² + mx = n 在 -1 ≤ x ≤ 2 的范围内只有一个实数根或两个 相等的实数根,直接写出 n 的取值范围.
**Equations/Inequalities:**
Parabola equation: y = -x² + mx
Line equation: y = x + b
Inequality in (2): -x² + mx ≤ x + b
Equation in (3): -x² + mx = n
**Coordinates:**
Point C: (0, -2)
**Other Relevant Text:**
Range for x in (3): -1 ≤ x ≤ 2
**Chart/Diagram Description:**
* **Type:** Coordinate system graph showing a parabola and a straight line.
* **Main Elements:**
* Coordinate Axes: X-axis (labeled 'x') and Y-axis (labeled 'y') intersecting at the origin (labeled 'O').
* Parabola: A curve opening downwards, passing through the origin O. Represented by the equation y = -x² + mx.
* Line: A straight line passing through points A, C, and B. Represented by the equation y = x + b.
* Points: Labeled points O (Origin), A, B, and C. A and B are the intersection points of the parabola and the line. C is the y-intercept of the line AB.
* Labels: 'x', 'y', 'O', 'A', 'B', 'C'.
* Relative Position: Point C is on the negative Y-axis. Point A is in the third quadrant. Point B is in the first quadrant. The line segment AB passes through C. The parabola passes through O.
视频信息
答案文本
视频字幕
这是一道关于抛物线与直线交点的综合题目。题目给出抛物线 y = -x² + mx 与直线 y = x + b 交于点 A 和点 B，并且直线与 y 轴交于点 C(0, -2)。我们需要通过这些条件来确定抛物线和直线的具体表达式，然后求解相关问题。
首先我们来确定直线的方程。题目告诉我们直线与y轴交于点C，坐标为(0, -2)。将这个点代入直线方程 y = x + b，得到 -2 = 0 + b，所以 b = -2。因此直线的方程为 y = x - 2。
接下来确定抛物线的方程。抛物线过原点，我们可以通过观察图像推测交点坐标。设交点为A(-1, -3)和B(2, 0)，联立抛物线和直线方程，得到 x² - (m-1)x - 2 = 0。利用韦达定理，两根之积为-2，验证(-1)×2=-2正确。两根之和为m-1=1，所以m=2。因此抛物线方程为 y = -x² + 2x，顶点坐标为(1, 1)。
现在求解不等式。不等式 -x² + 2x ≤ x - 2 可以化简为 x² - x - 2 ≥ 0，分解因式得到 (x-2)(x+1) ≥ 0。结合图像分析，当抛物线在直线下方或与直线相交时，不等式成立。这发生在 x ≤ -1 或 x ≥ 2 的区间内。
最后分析方程 -x² + 2x = n 在区间 [-1, 2] 内根的情况。在此区间内，抛物线的关键点有：x=-1时y=-3，x=1时y=1（顶点），x=2时y=0。当n=-3时只有一个根，当-3