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特殊直角三角形是具有固定邊長比例關係的直角三角形。主要有兩種類型：45度-45度-90度的等腰直角三角形，其邊長比為1比1比根號2；以及30度-60度-90度的直角三角形，其邊長比為1比根號3比2。這些比例關係在幾何計算中非常有用。
現在我們來證明45度-45度-90度等腰直角三角形的邊長比。首先，由於兩個銳角都是45度，根據三角形內角和定理，第三個角也是45度。因為有兩個角相等，所以這是等腰三角形，等角對等邊，兩條直角邊長度相等。設直角邊長度為a，根據勾股定理，斜邊的平方等於兩直角邊平方的和，即a平方加a平方等於2a平方，所以斜邊長度為a根號2。因此邊長比為1比1比根號2。
現在證明30度-60度-90度直角三角形的邊長比。我們從一個邊長為2a的等邊三角形開始，每個角都是60度。從頂點A向對邊BC作高線AD。在等邊三角形中，高線同時是中線和角平分線，所以AD垂直於BC，D是BC的中點，BD等於a，角BAD等於30度。在直角三角形ABD中，AB等於2a，BD等於a，由勾股定理可得AD等於a根號3。因此30度-60度-90度直角三角形的邊長比為1比根號3比2。
特殊直角三角形在實際生活中有廣泛應用。在建築設計、工程測量、物理學和導航系統中都經常用到。記住這些比例關係非常有用：45度-45度-90度三角形的邊長比是1比1比根號2，30度-60度-90度三角形的邊長比是1比根號3比2。例如，如果45度直角三角形的直角邊長為5，那麼斜邊就是5根號2。如果30度-60度-90度三角形的短邊為3，那麼長邊是3根號3，斜邊是6。這些比例讓我們能快速計算，無需計算器！
讓我們總結特殊直角三角形的邊長比關係。45度-45度-90度等腰直角三角形的邊長比是1比1比根號2，這來自於等腰三角形的性質和勾股定理。30度-60度-90度直角三角形的邊長比是1比根號3比2，這來自於等邊三角形的高線性質。這兩種特殊直角三角形的邊長比關係在數學計算和實際應用中都非常重要，掌握這些比例可以幫助我們快速解決相關的幾何問題。