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平行四邊形是一個重要的幾何圖形，定義為兩組對邊分別平行的四邊形。如圖所示，在平行四邊形ABCD中，邊AB平行於邊DC，邊AD平行於邊BC。這個基本定義是我們研究平行四邊形所有性質和判別方法的出發點。
平行四邊形具有許多重要性質。首先，兩組對邊分別相等，即AB等於DC，AD等於BC。其次，兩組對角分別相等，角A等於角C，角B等於角D。第三，鄰角互補，任意兩個相鄰的角相加等於180度。最後，對角線互相平分，兩條對角線AC和BD在交點O處互相平分。
要判別一個四邊形是否為平行四邊形，我們有五種主要方法。第一種是定義方法，證明兩組對邊分別平行。第二種是證明兩組對邊分別相等。第三種是證明兩組對角分別相等。第四種是證明對角線互相平分。第五種是證明一組對邊既平行又相等。這些判別性質都可以通過嚴格的幾何證明來確立。
現在我們來證明一個重要的判別性質：如果一個四邊形的兩組對邊分別相等，那麼這個四邊形是平行四邊形。證明方法是連接對角線AC，將四邊形分成兩個三角形ABC和CDA。由於AB等於DC，BC等於AD，而AC是公共邊，根據SSS全等定理，兩個三角形全等。因此對應角相等，內錯角相等說明對邊平行，所以ABCD是平行四邊形。
最後我們證明另一個重要的判別性質：如果一個四邊形的對角線互相平分，那麼這個四邊形是平行四邊形。已知對角線AC和BD在點O處互相平分，即AO等於OC，BO等於OD。在三角形AOB和COD中，由於AO等於OC，BO等於OD，而角AOB等於角COD（對頂角相等），根據SAS全等定理，兩個三角形全等。因此AB等於CD。同理可證AD等於BC。由於兩組對邊分別相等，所以ABCD是平行四邊形。這樣我們就完成了平行四邊形性質與判別性質的證明。