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魏尔斯特拉斯定理实际上并非单一的一个定理，而是指德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯提出的多个重要数学定理。其中最著名和常见的有两个：极值定理和逼近定理。这些定理在数学分析和函数论中具有极其重要的地位。
魏尔斯特拉斯极值定理是微积分中的一个基础定理。它告诉我们，如果一个函数在闭区间上是连续的，那么这个函数在这个区间上一定能取得它的最大值和最小值。这里的关键条件是函数必须连续，区间必须是闭的且有界的。图中显示了一个连续函数在闭区间上的最大值点和最小值点。
魏尔斯特拉斯逼近定理告诉我们，任何定义在闭区间上的连续函数，都可以被多项式函数一致逼近。这意味着对于任何给定的精度要求，无论多小，你总能找到一个多项式函数，使得它在整个区间上与原连续函数的差的绝对值小于这个精度要求。图中显示了一个连续函数和逼近它的多项式，它们之间的误差可以任意小。
这两个魏尔斯特拉斯定理在数学和应用科学中具有极其重要的地位。极值定理为优化问题提供了理论基础，保证了在满足条件的情况下最值的存在性，是微积分学的基石之一。逼近定理则是数值分析和函数逼近理论的核心，为计算数学提供了重要的理论工具，使我们能够用简单的多项式来近似复杂的函数。
总结一下，魏尔斯特拉斯定理包含两个重要的数学定理。极值定理告诉我们连续函数在闭区间上必定存在最大值和最小值，为优化问题提供了理论保证。逼近定理则表明任何连续函数都可以被多项式一致逼近，这为数值计算和函数分析提供了强有力的工具。这两个定理共同奠定了现代数学分析的重要基础。