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球体是三维空间中最完美的几何体之一。球体的体积公式是三分之四π乘以半径的三次方，表面积公式是四π乘以半径的平方。这些公式的推导需要用到微积分中的积分方法，通过将球体分解为无穷小的部分进行累加计算。
薄片法是推导球体体积公式的经典方法。我们将球体沿直径方向切成无数个厚度为dx的薄圆盘。在距离球心x处，根据勾股定理，薄片的半径y等于根号下r平方减x平方。每个薄片的体积近似为π乘以y的平方再乘以dx。
现在我们来计算这个积分。体积等于从负r到正r对π乘以r平方减x平方的积分。首先提取常数π，然后计算r平方x减三分之x立方在积分区间上的定积分。代入上下限后，经过化简得到三分之四π乘以r的三次方，这就是球体的体积公式。
表面积公式可以通过体积公式的微分来推导。想象球体半径增加一个微小量dr，增加的体积dV近似等于表面积A乘以厚度dr。因此表面积等于体积对半径的导数。对体积公式三分之四π乘以r立方求导，得到表面积公式四π乘以r平方。
通过微积分方法，我们成功推导出了球体的两个重要公式。体积公式是三分之四π乘以半径的三次方，表面积公式是四π乘以半径的平方。这些公式在几何计算、物理学和工程设计中都有广泛应用。例如当半径为3时，体积和表面积都等于36π。这展示了数学公式的简洁美和实用性。