我是一名日本的高中生，用高中以内的知识帮我解答---19. 设 m 为正整数, $a_1, a_2, \dots, a_{4m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列. 若从中删去两项 $a_i, a_j (i < j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 m 组, 且每组的四个数都能构成等差数列, 则称 $a_1, a_2, \dots, a_{4m+2}$ 是 (i, j)-可分数列. * 写出所有的 (i, j), 使得 $1 \le i < j \le 6$, 使得 $a_1, a_2, \dots, a_6$ 是 (i, j)-可分数列. * 当 $m \ge 3$ 时, 证明 $a_1, a_2, \dots, a_{4m+2}$ 是 (2, 13) 可分数列. * 从 $1, 2, \dots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i, j (i < j)$, 记数列 $a_1, a_2, \dots, a_{4m+2}$ 是 (i, j)-可分数列的概率为 $p_m$, 证明 $p_m > \frac{1}{8}$.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

今天我们来研究等差数列的一个特殊性质。给定一个有4m+2项的等差数列，如果删去其中两项后，剩余的4m项可以平均分为m组，且每组的四个数都能构成等差数列，我们就称原数列为(i,j)-可分数列。 我们先解决第一问。当m等于1时，数列有6项。删去两项后剩余4项需要构成一个等差数列。通过分析可知，只有两种情况满足条件：删去第2项和第5项，或者删去第1项和第6项。因此答案是(1,6)和(2,5)。 现在证明第二问。当m大于等于3时，我们需要证明数列是(2,13)-可分的。删去第2项和第13项后，我们可以这样分组：第1组包含a₁、a₃、a₄、a₅，第2组包含a₆到a₉，第3组包含a₁₀、a₁₁、a₁₂、a₁₄，以此类推。通过验证可以确认每组都构成等差数列。 最后分析第三问的概率问题。我们需要证明pm大于八分之一。总的选择方案数是C(4m+2,2)。关键是找出所有满足条件的(i,j)对。通过观察等差数列的性质，我们可以发现某些特定模式的对总是满足条件，从而得到概率的下界。 总结一下这道题的解答。第一问通过枚举得到答案是(1,6)和(2,5)。第二问用构造性方法证明了(2,13)-可分性。第三问通过分析等差数列的对称性质，找出满足条件的模式，证明了概率大于八分之一。这类问题的关键是利用等差数列的线性结构和对称性质。