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正多面体是几何学中的重要概念。它是一种特殊的凸多面体，所有面都是全等的正多边形，并且每个顶点汇集的面数都相同。这种高度的对称性使得正多面体具有丰富的数学性质。我们将用群论来证明只存在五种正多面体。
轨道-稳定子定理是群论中的基本定理。对于正多面体，其旋转对称群G传递地作用在顶点集合V、棱集合E和面集合F上。这意味着群的阶等于轨道大小乘以稳定子大小。我们将利用这个定理来分析正多面体的结构。
通过分析稳定子的大小，我们得到重要关系式。顶点稳定子的大小等于k，棱稳定子的大小为2，面稳定子的大小为n。结合边与顶点、面的计数关系，以及欧拉公式，我们可以建立约束条件。以正方体为例，它有8个顶点、12条棱、6个面，满足欧拉公式。
通过将群论结果代入欧拉公式，我们得到关键不等式：1/n + 1/k > 1/2。由于n和k都必须大于等于3，我们可以系统地检查所有可能的组合。当n=3时，k可以是3、4、5；当n=4时，k只能是3；当n=5时，k只能是3。当n≥6时，不等式无解。这样我们得到了五种可能的组合。
通过群论的严格证明，我们确定了只存在五种正多面体：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。这个结果被称为柏拉图立体定理，是几何学中的经典结果。群论为我们提供了强有力的工具，能够从对称性的角度深入理解几何结构的本质。